教师用书
教学目标
- 学生通过操作、观察、对比等活动，能发现日常生活中在分物时存在着分不完有剩余的情况，借此理解余数及有余数的除法的含义，增强全面思考问题的意识。
- 学生通过操作、计算、比较等活动，经历除法竖式(含表内除法的竖式)的书写过程理解竖式中每个数所表示的意思，进一步发展观察、分析能力以及恰当地进行数学表达的能力。
- 学生能初步掌握试商的基本方法，并能较熟练地进行有余数的除法的口算和笔算，提高运算能力。
- 学生初步学会用有余数的除法解决生活中的简单问题，初步感受数学与生活的联系,继续掌握解决问题的基本思路和基本方法。
内容安排
在日常生活中平均分物时，结果包含两种情况:一种是恰好分完的情况，这时没有剩余(即没有余数)，表内除法涉及的就是这样的内容;另一种是平均分后还有剩余的情况(余数不为0)，这是有余数的除法要研究的内容。
本单元的学习内容主要有两部分:第一部分是有余数的除法的含义和计算;第二部分是解决问题。教材具体编排结构如下表。
教材内容
含义和计算
编写意图
主题图呈现了学生分别用9根小棒摆出三角形、正方形、五边形的活动情境，并且将要解决的问题完整地呈现在了黑板上，图中的问题虽然简单，但能起到如下4个作用。
(1) 承上启下。基于已有的知识基础，学生按要求用小棒摆图形时，自然地会关注能摆几个图形，但不会特别关注还剩几根小棒，而这正是本节课要重点关注的内容。
(2) 便于操作。题目清晰简洁，所需学具简单，利于教师准备学具、学生在课堂上进行操作。
(3) 激发兴趣。由于在操作过程中会有不同的剩余情况，会引发学生的思考，如“为什么剩的不一样?”“在数学上怎样表示?”等，产生研究的愿望，也能体现引入有余数的除法的必要性。
(4) 进行铺垫。图中呈现了3 组学生:第一组用9根小棒摆出3个三角形，没有剩余;第二组用9根小棒摆出2个正方形剩下1根;第三组用9根小棒摆出1个五边形，剩下4根。为学生在操作中理解余数及有余数的除法的含义等提供示范，积累活动经验。
教学建议
(1) 注意准备好学具。
动手操作是帮助学生学习数学、理解数学的一种简便易行的方法，它也是本单元教学的重要支撑。因此，教学时教师要准备好学具。为了避免无关因素的干扰及主题图教学的需要，准备的小棒应一样长。
(2) 要组织好学生的拼摆活动。
活动前，教师应分好学习小组。摆图形时，学生既可以选择自己喜欢的图形进行拼摆，也可以多准备几组小棒，每次让学生用9根小棒拼摆不同的几种图形，关键是让每个学生经历拼摆的过程，体会用9根小棒摆图形时，会出现“摆了几个图形后，没有剩余或还剩几根”的现象，并能用语言将自己摆的结果叙述清楚。
(3) 要组织好全班学生的交流。
交流时，要让学生用自己的语言表达拼摆的情况，不强求统一，只要能说清楚即可。
例1：余数及有余数的除法的含义
编写意图
(1) 例1借助用小棒摆三角形这一平均分物的操作活动，通过与表内除法的对比，使学生理解余数及有余数的除法的含义。这里有两个对比:一是平均分物分得的结果的对比;一个是用除法横式表示的对比。其中第一个对比是理解第二个对比中的余数及有余数的除法的含义的基础，也是理解第二个对比中商和余数的单位名称不同的基础。
(2) “做一做”的两道题，都是先用语言描述操作要求，再让学生圈、连、填，最后用除法算式表示。即多种表征形式相互映衬，帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，并学会确定商与余数的单位名称。其中第1题与例题相似，都是平均分中“包含”的情况，并且将要求与结果以图分开呈现，便于学生根据操作写出除法算式，巩固学生对相关知识的理解。第2题涵盖了平均分的两种情况(包含与等分)，除继续巩固相关知识外，可使学生进一步体会在有余数的除法中，商和余数的单位名称什么时候相同(等分)，什么时候不同(包含)。
教学建议
(1) 注意在操作、对比中使学生理解。
可先进行恰好分完的操作活动，并用除法算式表示出来;再进行有剩余的操作活动，通过对比使学生体会其异同，帮助学生理解分完后有剩余的情况，并用除法算式表示，给出余数的名称并理解其含义(表示平均分完后剩下的那部分)。
(2) 借助“做一做”沟通不同表征方式,进一步理解商与余数的单位名称的确定。
明确题意后，可让学生按要求边说边做列出除法算式并说说算式中每个数的含义。这里需要教师设计好问题，如借助17-2=8(组)……1(个)这个算式，让学生说说“1在图中指的是哪部分?表示什么意思?”“算式中其他各数分别在图里表示哪部分?分别表示什么意思?”“你能用线把除法算式中的各数与它相对应的部分连起来吗?”等，沟通不同表征方式间的关系，深化学生的理解，解决确定有余数的除法中商与余数的单位名称的教学难点问题。
例2：余数和除数的关系
编写意图
(1) 例2教学余数和除数的关系。教材借助逐渐增加小棒的根数摆正方形的活动，达到3个目的:一是巩固有余数的除法的含义;二是发现余数和除数的关系;三是为后面试商作铺垫。
(2) 例题的呈现过程具有结构性，具体表现为:题干下方每行的左边是小棒的总根数，中间是摆正方形的情况，右边是用除法算式表示的拼摆情况。按照这样的结构，左边和中间的内容可以叙述成如“9根小棒，4根摆一个正方形，摆了2个正方形，还剩1根小棒。除法算式是9÷4=2(个)……1(根)”的方式，同时，从上到下可以清楚地看出所用小棒总根数的连续变化情况、直观地看到操作结果以及余数的变化情况，便于学生通过观察:比较和分析，总结出余数与除数的关系:余数要比除数小。
(3) “做一做”的题目很巧妙，没有给出用来摆正五边形和正三角形的小棒的根数，而是让学生根据要摆的图形，猜测如果有剩余，可能会剩几根小棒。这样就把学生关注的重点放在除数上，促进学生进一步理解余数的含义及余数和除数的关系。
教学建议
(1) 以操作深化理解有余数除法的含义。
在操作中应使学生感受到摆、说的过程与算式表示的意思相同，为抽象的算式建立表象支撑，加深对有余数除法含义的理解。
(2) 以聪聪的话引导学生观察、思考，培养学生的观察、归纳及概括的能力。
教师可以边说聪聪的话，边用彩色笔描出每个算式中的除数和余数，让学生观察余数与除数的关系，得出余数比除数小的结论。
(3) 要验证“余数比除数小”的普适性。
在得到结论后，应让学生随意出题，验证结论是否总是成立，深化学生的认识，培养学生勇于质疑的精神。
(4) 用“余数比除数小”的知识解决问题,“做一做”的本质是让学生用余数与除数的关系解决问题。可以猜一猜、说一说、议一议等让学生明白:摆正五边形时，剩余的小棒应少于5根，因为够5根小棒就能再摆一个正五边形了。摆正三角形时依此类推。
例3：有余数的除法竖式和表内除法的竖式
编写意图
(1) 例3教学除法竖式。其编排思路仍然是借助操作，通过与横式的对比，使学生了解有余数的除法竖式的写法(难点在于商写在哪里)，知道除法竖式中各部分的名称，更重要的是对照操作过程，理解除法竖式中各部分所表示的意义。为帮助学生理解商写在个位的道理，这里给出的是1捆零3根小棒，通过拆捆使学生直观看到平均分的是13个一，进而理解商写在个位的道理，为后面的学习打好基础。
另外，有余数除法竖式和横式的对比，可使学生看到:在竖式中，能清楚地看到商是多少、分完了多少根小棒、余数是多少:在横式中，分完了多少根小棒不能直观看到。从而使学生初步感受到用除法竖式计算的优越性。
(2) 之后又教学表内除法竖式的写法。由于有了有余数除法的竖式作为对比，学生理解起来不会太难。教学的重点在于使学生理解余数位置为什么写0，理解0所表示的含义。
(3) “做一做”重在让学生借助操作进一步理解除法竖式中各部分的含义，巩固除法竖式的写法。其中，第1题是针对有余数除法竖式的巩固，同时沟通了动作、语义、符号等不同表征方式之间的关系，加深学生的理解。
教学建议
(1) 注意在操作中建立有余数除法的竖式表征形式与其他表征形式的联系。
教学时，注意结合之前学生已有的表征形式引入有余数除法的竖式表征形式，并介绍除法竖式中各部分的名称。然后将除法竖式中的每个数与操作过程建立联系，以使学生理解竖式中每个数的含义。如以“竖式中的13表示什么?你还能在哪里找到它?请你把它们都圈出来。”引发学生思考，使学生明白:不管13以什么形式(小棒总根数、数)在什么位置(图中、横式中的被除数、竖式中除号里面的数)，都表示要分的13根小棒。其他以此类推，帮助学生理解。
(2) 在比较中理解除法竖式。
教学本页内容，要进行4个比较:一是操作过程的比较;二是横式与横式的比较;三是横式与竖式的比较;四是竖式与竖式的比较。在比较中加深学生对除法竖式的理解，掌握方法，提高辨析能力。
例4：试商
编写意图
(1) “做一做”第2题是针对表内除法竖式的练习。同样包括操作活动、语言表述、横式书写、竖式书写之间的转换，加深学生的理解，同时使学生初步感受到表内除法与有余数的除法的关系。
(2) 例4教学有余数除法的计算。这里不再借助具体操作，而是让学生利用除法竖式，直接想乘法口诀寻找商。这就需要通过试商得到正确的商，所以，教学的关键在于让学生掌握试商的方法，即看除数和几相乘的积最接近被除数而小于被除数，并学会通过余数与除数的关系判定所找到的商是否正确。
(3) “做一做”第l题是基本练习，进一步巩固试商的基本思路和基本方法。第2题是用有余数的除法解决日常生活中的简单问题，感受有余数的除法在日常生活中的应用。学生列横式、竖式都可以。
教学建议
(1) 要进行试商前的准备练习。
因为学生试商的时候，很难一下子就找到合适的商。教学时，可以进行有针对性的练习，如第63页的第4题、第5题等，使学生知道怎样去寻找最接近被除数的一个积，为熟练进行有余数除法的计算进行铺垫。
(2) 要让学生掌握试商的关键点。
试商有两个关键点:一是要找到一个合适的数(即商)，使这个数与除数相乘的积最接近被除数而又小于被除数;二是最后得到的余数应该比除数小。
(3) 对试商有困难的学生要适当降低难度。
这是学生第一次脱离具体操作确定有余数的除法计算的结果。因此，教学时可以通过调用学生的操作经验降低学习的难度。比如，计算14÷5=?时，可先让学生想一想“14个橘子，每5个为一份，分成了2份，还剩4个，商是几，写在哪?”等，以帮助学生理解试商的思路和方法。
编写意图
(1) 练习十四共安排了15道习题，用以帮助学生巩固余数及有余数的除法的含义，掌握除法竖式及有余数的除法计算的方法。
(2) 第1题以学生生活中熟悉的给窝头装袋为素材，利用平均分中的“包含”的情况，帮助学生进一步理解余数及有余数的除法的含义。教材在编排上体现了开放性，学生可以自选一种装法圈一圈并列出算式。同时，这道题也将有余数的除法的不同表征形式放在一起，利于学生的理解，并进一步感受商和余数的单位名称的不同。
(3) 第2题借助有趣的3只刺猬分草莓的情境，利用平均分中的“等分”，深化学生对余数及有余数的除法含义的理解，同时感受到商和余数的单位名称的相同。
(4) 第3题重在巩固学生对除法竖式的掌握和理解。教材同样是借助分棒棒糖的操作活动深化学生的理解。同时，为突出对竖式中每个数的含义的巩固，也为了分散练习的难点，教材将商写了出来，使学生的关注重点放在对竖式中各个数的含义的理解上。
教学建议 (1) 进一步通过几种表征的转换促进学生理解。
第1~3题都是根据文字的意思先进行操作，然后把操作的结果填在括号中，最后完成有余数除法的横式或竖式的书写，包括了多种表征方式的转换。练习时要充分注意到这一点，如可以让学生边圈(或分)边说边写，使学生充分感受到操作、文字、横式或竖式所表达意思的统一，理解本质。
(2) 在交流中获得对有余数的除法的含义的深入理解。
练习时，可以先让学生自己做一做，然后在小组里说一说，最后再进行全班交流。这样可以发挥合作学习的优势，为学习上有困难的学生增加理解的时间。
(3) 注意把握教学的深度。
至此为止，学生对于结果的得出都是通过平均分物操作得到的，如果需要补充练习，也应注意到这一点。抽象的计算练习是后面的学习内容。
编写意图
(1) 第4题是针对试商的准备性练习。以“□里最大能填几?”的形式呈现，要填出□里最大的数。这就需要学生想乘法口诀找出:哪一个数与给出的数相乘的积最接近(“>”或“<”)另一侧的数，如□X6<57，就想得数和 57 最接近，但又比57小的6的乘法口诀，六九五十四，符合题目要求，就填9。而这样的思路和想商的思路一致，因此是求商的准备性练习。
(2) 第5题和第6题是针对试商的巩固性练习。题中并没有留出写完竖式的空白，意在专门突出对试商方法的巩固。其中，第5题以“某数里面最多有( )个另一个数。”并辅以竖式的形式呈现，需要学生利用除法竖式试商;第6题则直接以除法竖式的形式呈现，让学生进行试商的练习，只不过里面还混合了表内除法的计算，需加以注意。
(3) 第7题是辨析题，让学生判断找到的商是否合适，并加以改正。这种题目是在学生对试商的方法初步掌握之后出现的，既巩固试商的方法，要求学生会熟练地运用，又可以提高学生的学习兴趣，培养学生的辨别能力。
教学建议 (1) 加强常规性训练，为试商进行铺垫。
为突破教学难点，可以每天抽出5~10分钟，进行类似于第4题的训练。由于这里是首次出现这样的题型，所以应先让学生看懂题意，如口x6<57，可以让学生先想一想口里能填几，再判断□里最大能填几。
(2) 创设丰富多彩的游戏活动提高学生练习的兴趣。
在平常的教学中，要注意搜集学生学习中的易错点、困难点，并进行分类整理，然后，通过丰富多彩的“医疗诊所”“我是快乐的小医生”“啄木鸟吃虫子”等游戏，让学生进行思考、辨析，既提高学生的参与度，又提高学生的学习能力。
(3) 明确计算要求。
计算时应要求学生认真、准确，不对速度提出过多要求，不要强调又对又快。
编写意图
(1)第9题以连一连的形式进行除法计算的混合练习，既包括有余数的除法，又包括表内除法。重在让学生在理解题意的基础上，通过练习逐步形成计算能力。
(2)第10题以题组形式呈现，除巩固计算之外，重在让学生体会有余数的除法和下面乘加算式之间的关系，初步感受“商X除数十余数=被除数”，渗透了有余数的除法计算的检验方法。
(3)第11题重在巩固有余数除法的试商方法，也可根据学生的实际继续渗透“商X除数十余数=被除数”的检验方法。尤其是第(2)题。
(4)第12、13 题是解决简单实际问题的内容，但都给出了算式，只让学生填写商和余数，重点还是有余数除法计算的练习，同时继续巩固其他相关知识。
(5)第14题让学生根据除数确定最大的余数，巩固余数和除数的关系。答案唯一，是7。
(6)第15题供学有余力的学生完成。这是一个开放题，有多个答案。解题时需要综合运用有余数除法的相关知识，并可培养学生有序思考的习惯。
教学建议
(1) 重视渗透检验有余数的除法的方法。
如第10题，可先让学生计算，通过计算发现每组算式中第二个算式的得数即是第一个算式的被除数，感受检验有余数除法的方法。再将此方法运用到第 11题中。
(2) 重视培养学生有序思考的习惯和意识。
完成第15题，需要把握住两个关键:一是利用余数与除数的关系确定除数;二是利用第 10 题发现的“商x除数十余数=被除数”。当余数是1时，除数可以分别是2、3、4、5、6、7、8、9，进而再确定被除数，从而解答出整个题目。答案如下:当除数是2时，被除数为2x6+1=13;当除数是3时，被除数为3x6+1=19;当除数是4时，被除数为4x6+1=25;当除数是5时，被除数为5x6+1=31;当除数是6时，被除数为6x6+1=37;当除数是7时，被除数为7x6+1=43;当除数是8时，被除数为8x6+1=49;当除数是9时，被除数为9x6+1=55。
解决问题
例5：解决问题——进一法
编写意图
(1)例5是用有余数除法的知识解决简单的实际问题，并要采用“进一法”得出问题的答案，教材继续让学生经历解决问题的全过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。
(2)在“知道了什么?”环节，教材注意引导学生摘录关键信息，这是解决问题的前提，同时可以培养学生审题的习惯与理解问题的能力。
(3)在“怎样解答?”环节教材通过两名学生的对话呈现了解决问题的思路，使学生明白用除法计算的道理，以及需要准备6个盒子的道理。
(4)在“解答正确吗?”环节，教材对解决问题的整个过程进行了回顾和反思，通过把计算的结果当作已知条件，用乘法进行检验，渗透了思考问题的基本方法。
(5)“做一做”第1题与例题相同，进一步巩固用有余数的除法和“进一”法解决问题。第2题则与例题不同，余下的钱不够再买一个面包了，不需要采用“进一”法确定答案。意在培养学生认真审题的习惯，避免形成思维定式。
教学建议
(1) 要认真理解题目中的关键词。
教学中可以借助大量的生活实例，帮助学生理解不同语境中“最多”“至少”的含义。如“教室里最多有5个人”是什么意思?“教室里至少有5个人”是什么意思?“10个人，最多4个人一组，至少要分几组?”等。
(2) 用不同表征方式理解“进一”的道理。
以例5的教学为例，可以用如下方式来表征。用图表示:OOOO 0000 0000 0000 0000 00，共5+1=6(个)。
用符号表示:4，4，4，4，4，2，共5十1=6(个)
用竖式表示，说清竖式中每个数的含义以及准备6个盒子的道理。
(3) 要重视“做一做”第2题的教学，体会此语境中最多能买几个面包中“最多”的含义。
例6：解决问题
编写意图
(1) 例6学习用有余数除法的知识解决与按规律排列有关的问题。在解决这类问题的时候，我们更关心的不是所求得的商而是余数。
(2) 在“怎样解答?”环节,教材提供了两种解决问题的思路和方法:第一种是用按小旗排列的规律继续画的方式解决问题;第二种是利用除法(竖式)解决问题。两种方法都呈现了分析问题的过程，但第二种方法是教学的重点。用这种方法解决问题的关键点有二:一是通过按排列规律3面一组地圈，理解用除法解答的道理；二是理解余数1的含义(这是确定答案的关键)，这里都需要结合图示理解，进而建立解决此类问题的模型。
(3)“做一做”是例6的拓展，要求判断第27面旗子的颜色，数目变大了，除巩固例题所学知识外，也更能体现学习上面第二种方法的必要性。这里的重点是让学生理解竖式中余数位置上的“0”的含义，进而确定答案。
教学建议
(1) 注重让学生亲历解决问题的全过程。
教学时可先让学生自己审读题意，并在读题的过程中不断调用解决此问题所需要的知识、方法、策略，再通过倾听、交流，获得解决问题的基本思路和基本方法，在此基础上反思解决问题的过程，检验解答过程是否正确。
(2) 尊重学生，允许自主选择解决问题的方式。
教学中可以采用多种方法解决问题，可以画一画、算一算，只要能将自己的想法表达清楚即可。
(3) 注意借助不同的表征方式理解余数与旗子颜色的关系。
在学生用除法计算出结果后，应结合直观图让学生理解:余数是1时，对应着一组旗中的第1面旗，根据排列规律这面旗应是黄色的;余数是2时，对应着一组旗中的第2面旗，根据排列规律，这面旗是红色的;余数位置上是0时，对应着一组旗中的第3面旗，根据排列规律这面旗是红色的。
